آیا می توان از رفت و آمد برای مطالعه قابلیت حل یک گروه استفاده کرد؟

سلام! من به عنوان یک تأمین کننده کمیترها ، من در مورد چگونگی استفاده از این اجزای کوچک در زمینه های مختلف تحصیلی فکر زیادی کرده ام. یک سؤال واقعاً جالب که مطرح می شود این است: آیا می توان از رفت و آمد برای مطالعه قابلیت حل یک گروه استفاده کرد؟

بیایید با درک اینکه یک کمیته چیست ، شروع کنیم. در دنیای تئوری گروه ، اگر در آن گروه گروهی (g) و دو عنصر (الف) و (ب) داشته باشید ، رفت و آمد (a) و (b) ، نوشته شده به صورت ([[a ، b]) ، به عنوان (a^{-1} b^{-1} ab) تعریف شده است. این ممکن است مانند یک فرمول کوچک ساده به نظر برسد ، اما از نظر آنچه می تواند در مورد این گروه به ما بگوید ، یک مشت را بسته بندی می کند.

حال ، منظور از این است که یک گروه قابل حل باشد؟ A group (G) is solvable if there's a sequence of subgroups (G = G_0 \geq G_1\geq\cdots\geq G_n={e}), where (e) is the identity element of the group, and each (G_{i + 1}) is a normal subgroup of (G_i) and the quotient group (G_i/G_{i+1}) is abelian. به عبارت ساده تر ، ما می توانیم گروه را به قطعات کوچکتر ، خوب تر (Abelian) تقسیم کنیم.

بنابراین ، چگونه جابجایی ها در این تصویر جای می گیرند؟ خوب ، زیر گروه کمیتاتور ، که اغلب به عنوان (g ') یا ([g ، g]) مشخص می شود ، زیر گروهی است که توسط همه رفتارهای گروه (g) ایجاد می شود. یعنی ، (g '= \ langle [a ، b]: a ، b \ in g \ ragle).

زیر گروه Combutator هنگام مطالعه حل پذیری بسیار مهم است. یکی از خصوصیات کلیدی این است که یک گروه (g) abelian است اگر و فقط اگر زیر گروه تراکتور آن باشد (g '= {e}). این امر به این دلیل است که اگر (g) Abelian باشد ، برای هر (A ، B \ in G) ، (AB = BA). بنابراین ، ([a ، b] = a^{-1} b^{-1} ab = a^{-1} ab^{-1} b = e). برعکس ، اگر (g '= {e}) ، سپس برای همه (a ، b \ in g) ، ([a ، b] = e) ، که به معنی (a^{-1} b^{-1} ab = e) است. هر دو طرف را در سمت چپ توسط (AB) ضرب کنید ، و (AB = BA) دریافت می کنید ، بنابراین (g) Abelian است.

حال ، بیایید در مورد رابطه بین زیر گروه کمیته و قابلیت حل فکر کنیم. ما می توانیم دنباله ای از زیر گروه های رفت و آمد را تشکیل دهیم. با (g_0 = g) شروع کنید ، سپس (g_1 = [g_0 ، g_0] = g ') ، (g_2 = [g_1 ، g_1]) ، و به طور کلی ، (g_ {i+1} = [g_i ، g_i]). این دنباله سری مشتق شده از گروه (G) نامیده می شود.

اگر گروه مشتق شده در نهایت به گروه بی اهمیت ({E}) برسد ، یک گروه (g) قابل حل است. یعنی یک عدد صحیح غیر منفی (n) وجود دارد که (g_n = {e}). برای دیدن این که چرا این مورد است ، ابتدا فرض کنید که (g) با یک سری قابل حل قابل حل است (g = h_0 \ geq h_1 \ geq \ cdots \ geq h_n = {e}) که در آن (h_ {i}/h_ {i + 1}) Abelian است. ما می توانیم با القاء نشان دهیم که (g_i \ leq h_i) برای همه (i). برای (i = 0) ، (g_0 = g = h_0). فرض کنید (g_i \ leq h_i). از آنجا که (H_ {I}/H_ {I + 1}) Abelian است ، ([H_i ، H_i] \ Leq H_ {I + 1}). و از آنجا که (g_ {i+1} = [g_i ، g_i]) و (g_i \ leq h_i) ، ما (g_ {i+1} \ leq [h_i ، h_i] \ leq h_ {i+1}) داریم. سرانجام ، هنگامی که (h_n = {e} ، g_n = {e}).

در مقابل ، اگر سری مشتق شده (G = G_0 \ GEQ G_1 \ GEQ \ CDOTS \ GEQ G_N = {E}) ، آنگاه هر (G_I/G_ {I+1}) Abelian است زیرا (G_ {i+1} = [g_i ، g_i]) ، و زیر گروه g_i (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (g_i) (شما می توانید این موضوع را با استفاده از خواص گروه ها و رفتارهای کم ارزش اثبات کنید). بنابراین ، سری مشتق شده خود یک سری قابل حل برای (g) است.

از نظر عملی ، وقتی ما به یک گروه نگاه می کنیم ، می توانیم زیر گروه های زیر گروه را - مرحله به مرحله محاسبه کنیم. ما با پیدا کردن همه رفت و آمد کنندگان در گروه شروع می کنیم تا اولین زیر گروه Combutator (G ') را تشکیل دهیم. سپس ما همین کار را برای (g ') انجام می دهیم (g' ') و غیره. اگر در بعضی از مواقع فقط با عنصر هویت به پایان برسیم ، می دانیم که این گروه قابل حل است.

من به عنوان یک تأمین کننده مسافر ، این ارتباط را بین کمیتورها و قابلیت حل گروهی جذاب می دانم. این نشان می دهد که این مؤلفه های کوچک ، که عمدتاً در زمینه مهندسی برق و سیستم های مکانیکی در جایی که من آنها را تهیه می کنم ، تصور می شوند ، این کاربرد ریاضی عمیق را دارند.

اگر وارد جبر انتزاعی شوید و در مورد تئوری گروه تحقیق کنید ، مفهوم رفت و آمد و استفاده از آنها در مطالعه قابلیت حل می تواند یک منطقه کاملاً جدید از اکتشاف را باز کند. شما می توانید از ابزارهای محاسباتی برای محاسبه زیر گروه های رفت و آمد برای گروه های بزرگ و پیچیده استفاده کنید. همچنین نتایج نظری بسیاری نیز وجود دارد که می تواند به شما در تجزیه و تحلیل ساختار گروه ها بر اساس زیر گروه های کمیتور آنها کمک کند.

آنچه واقعاً جالب است این است که مطالعه حلالیت گروهی نیز برنامه های واقعی دارد. به عنوان مثال ، در تئوری Galois ، حلالیت گروه Galois از یک معادله چند جمله ای مربوط به اینکه آیا معادله توسط رادیکال ها قابل حل است ، مرتبط است. بنابراین ، با استفاده از کمیتورها برای مطالعه قابلیت حل گروه Galois ، می توانیم بینش در معادلات چند جمله ای کسب کنیم.

حال اگر برای پروژه های برقی یا مکانیکی خود در بازار رفت و آمد با کیفیت بالا قرار دارید ، به جای مناسب رسیده اید. ما طیف گسترده ای از رفت و آمد را درجماعتبشر این که آیا شما برای سازهای دقیق یا مقیاس های بزرگ برای کاربردهای صنعتی به جابجایی های مقیاس کوچک احتیاج دارید ، ما شما را تحت پوشش قرار داده ایم.

اگر علاقه مند به بحث در مورد الزامات خاص خود هستید یا می خواهید نقل قول کنید ، دریغ نکنید. ما همیشه خوشحالیم که گپ می زنیم و می بینیم که چگونه می توانیم به شما در مورد نیازهای کمتری کمک کنیم. این که آیا شما یک مهندس ، یک محقق هستید یا کسی که فقط به دنبال مؤلفه های قابل اعتماد هستید ، ما برای حمایت از شما اینجا هستیم.

منابع

• Dummit ، DS ، & Foote ، RM (2004). جبر انتزاعی. ویلی
• Long ، S. (2002). جبر اسپرینگر